شناسایی سیستم سازه­ای از روی خروجی

  1-مقدمه

  1-1-مساله شناسایی سیستم

  منظور از مساله‌ی شناسایی سیستم، بدست آوردن مدل ریاضی یک پدیده(مثلا سیستم دینامیکی) به کمک اطلاعات آزمایشگاهی می‌باشد. این تعریف بیانگر این مهم است که این فن در حوزه‌های مختلف مهندسی همچون شناسایی سیستم‌های بیولوژیکی، فرآیندهای صنعتی، سیستم‌های اقتصادی، صنایع هواپیماسازی، خودروسازی و غیره کاربرد دارد. هدف از مدلسازی، تحلیل مهندسی، شبیه‌سازی، وضعیت‌سنجی، پیشبینی یا کنترل می‌باشد. جهت شناسایی سیستم گام‌های ذیل برداشته می‌شود.

  (1) انتخاب کلاس مدل مبتنی بر دانش اولیه

  (2) طراحی ورودی، آزمایش و نحوه‌ی جمع‌آوری اطلاعات

  (3) پارامتریزه کردن کلاس مدل مبتنی بر تئوری تحقق و شناسایی‌پذیری

  (4) تخمین پارامترهای مدل

  (5) ارزیابی مدل بر اساس تابع هدف

  بطور عمومی دو نوع چارچوب مدلسازی وجود دارد. یکی چارچوب مدلسازی غیرپارامتریک و دیگری چارچوب مدلسازی پارامتریک می­باشد. در مدلسازی غیرپارامتریک در جستجوی یافتن رابطه‌ی ورودی-خروجی هستیم، حال آنکه در مدلسازی پارامتریک، ابتدا یک مدل ریاضی که چندین پارامتر دارد، تعریف می‌شود. سپس از روی اطلاعات آزمایشگاهی، این پارامترها تعیین می‌گردد و در نهایت به کمک مدل بدست آمده، رابطه‌ی ورودی-خروجی سیستم تعیین می‌شود. این مدلسازی ریاضی می‌تواند فیزیکی یا غیرفیزیکی باشد. در مدل فیزیکی، تعیین مدل دینامیکی سیستم مبتنی بر قوانین فیزیکی همچون قانون دوم نیوتن می‌باشد. در صورتیکه اطلاعات در مورد رفتار فیزیکی سیستم دینامیکی محدود باشد، از مدلهایی بدون مفهوم فیزیکی استفاده می‌شود. انجام عملیات شناسایی می‌تواند در فضای فرکانسی یا در فضای زمانی انجام شود. معمولا از شناسایی در فضای فرکانسی تعبیر به شناسایی مودال می‌کنند. منظور از شناسایی مودال، تعیین پارامترهای مودی به کمک اطلاعات آزمایشگاهی است. منظور از پارامترهای مودی، فرکانس ‌ های طبیعی، میرایی و شکل‌های مودی می‌باشد. در آزمایش مودال کلاسیک، پارامترهای مودال با تعیین تابع پاسخ فرکانسی سیستم [1] تعیین می‌شود. این تابع بارگذاری ورودی را به پاسخ سیستم ارتباط می‌دهد. این روش نیاز به اندازه‌گیری ورودی و خروجی به سیستم را دارد. برای شناسایی مودال سازه‌های بزرگ عمرانی، سازه‌هایی که مرتعش کردن آنها بطور مصنوعی براحتی امکان‌پذیر نیست، و یا سازه‌هایی که اندازه‌گیری پارامترهای مودی آنها تحت بهره‌برداری نیاز است، از تکنیک‌های آزمایش مودال از روی خروجی [2] استفاده می‌شود. این نوع تکنیک‌ها در حوزه‌ی مهندسی مکانیک، تحت عنوان آزمایش مودی تحت بهره‌برداری [3] و در حوزه‌ی مهندسی عمران تحت عنوان آزمایش ارتعاشات محیطی [4] خوانده می‌شود. آزمایش مودی از روی خروجی ارزانتر است و سریعتر انجام می‌پذیرد. زیرا به تجهیزات مرتعش‌کننده نیازی نیست. این آزمایش بهره‌برداری از سازه را مختل نمی‌کند و پاسخ اندازه‌گیری شده بیانگر شرایط واقعی بهره‌برداری از سازه می‌باشد. البته عدم اندازه‌گیری ورودی، عدم‌قطعیت در تخمین پارامترهای مودال را افزایش می‌دهد، لکن می‌توان با ترکیب اطلاعات سنسوری و استفاده از تکنیک‌های تحلیل و مدیریت اطلاعات، عدم‌قطعیت را تا سرحد امکان کاهش داد.

  1-2- روش­های شناسایی سیستم سازه­ای

  همانطور که ذکر شد، از منظر مدلسازی می‌توان روش‌های شناسایی را به روش‌های شناسایی پارامتریک و روش‌های شناسایی غیرپارامتریک تقسیم‌بندی کرد. روش شناسایی غیرپارامتریک را می‌توان روشی دانست که به‌طور مستقیم مدل خاصی برای سیستم درنظر نمی‌گیرد و بیشتر سعی در تبیین و تفسیر به کمک ارائه‌ی مشاهدات در شکل خاصی از روش‌های بازنمایی اطلاعات دارد. که می‌توان به نمایش اطلاعات در فضای فرکانسی، فضای موجک و غیره اشاره کرد. با فشرده‌سازی اطلاعات با بازنمایی آنها در قالبهای مختلف می‌توان تفسیرهای مناسبی از اطلاعات ارائه داد. در روش شناسایی پارامتریک، مدل نیوتنی به اطلاعات برازش می‌شود. در این رویکرد مدل نیوتنی در شکل‌های مختلف خود همچون، مدل فضای حالت، مدل آرما و غیره مورد استفاده قرار می‌گیرد. با توجه به اینکه از کدام شکل بازنمایی مدل نیوتنی استفاده شود، روش‌ها و تکنیک‌های متفاوتی در پردازش اطلاعات مورد استفاده قرار می‌گیرد.

  از منظر اطلاعات استفاده شده در شناسایی سیستم می‌توان روش‌های شناسایی را به سه گروه تقسیم‌بندی کرد. روش‌هایی که از تابع طیفی استفاده ‌می‌کند، روش‌هایی که از تابع همبستگی بهره می‌جوید و روش‌هایی که از اطلاعات خام استفاده می‌نماید. روش‌هایی که از طیف مدد می‌جویند، امر شناسایی را در فضای فرکانسی انجام می‌دهند و غالبا غیرپارامتریک هستند. از این میان می‌توان به روش‌های PP [5] ، [6] FDD اشاره کرد. روش‌هایی که از تابع همبستگی استفاده می‌کنند، شناسایی را دو مرحله‌ای و در فضای زمان انجام می‌دهند و روش‌هایی پارامتریک هستند. از این میان می‌توان به روش‌های [7] ITD ، PRCE [8] ، ERA [9] اشاره کرد. روش‌هایی که از اطلاعات خام استفاده می‌کند، روش‌هایی یک مرحله‌ای، در فضای زمان و پارامتریک هستند. از این روش‌ها می‌توان به روش‌ SSI [10] ، روش مبتنی بر مدل ARMAV اشاره کرد.

  در فرآیند شناسایی سیستم اگر سخن از طیف به میان آید، منظور طیف سیستم یا همان ‌پاسخ فرکانسی سیستم ( FRF ) می‌باشد و اگر سخن از تابع همبستگی به میان آید، منظور تابع همبستگی سیستم یا همان پاسخ ضربه‌ی سیستم (IRF) است و اگر بحث از اطلاعات خام می‌باشد، منظور اطلاعات ورودی و خروجی سیستم است. با عنایت به نکات مطرح شده استنباط می‌گردد که جهت شناسایی سیستم نیاز به داشتن ورودی و خروجی سیستم داریم تا بتوانیم سیستم را مورد شناسایی قرار دهیم. حال آنکه در شناسایی از روی خروجی، به اطلاعات ورودی دسترسی نداریم. به منظور توسعه‌ی شناسایی از روی خروجی مجبوریم فرضی پیرامون ورودی سیستم انجام دهیم. غالبا فرض می‌شود که ورودی به سیستم نوفه‌ی سفید می‌باشد. با این فرض می‌توان به جای FRF سیستم از طیف خروجی استفاده کرد و به جای IRF از تابع همبستگی خروجی بهره جست و با این فرض از همان روش‌های مبتنی بر ورودی-خروجی در شناسایی از روی خروجی استفاده کرد. با این فرض می‌توان ادعا نمود که برای تمام روش‌های شناسایی پارامترهای مودال از روی ورودی-خروجی می‌توان روش شناسایی از روی خروجی یافت. در ذیل به بررسی چند روش شناسایی از روی خروجی می‌پردازیم.

  بندت و پیرسل ] 1 [ در کتاب خویش روش PP [11] را در شناسایی از روی خروجی ارائه داده‌اند. در این روش فرکانس طبیعی سیستم، پیک PSD نرمال شده‌ و میانگین‌گیری شده تلقی می‌شود. انتخاب پیک یک عمل کیفی است و به تجربه نیاز دارد. در این روش به‌جای شکل مودی، تغییرشکل بهره‌برداری مورد محاسبه قرار می‌گیرد. و میرایی بدست آمده از آن دقیق نیست. با روش [12] FDD می‌توان انتخاب فرکانس طبیعی را کمی کرد. در این روش به کمک SVD ، طیف پاسخ به یکسری سیستم یک درجه‌ی آزادی شکسته می‌شود که متناظر با مودهای سیستم می‌باشد. از این روش، مودهای نزدیک به هم نیز قابل شناسایی است.

  روش [13] NexT یکی دیگر از روش‌های شناسایی از روی خروجی است. در این روش تابع همبستگی پاسخ سیستم، مجموعی از چند تابع سینوسی با کاهندگی تلقی می‌شود که هر کدام متناظر یکی از مودهای سیستم می‌باشد. مطابق این فرض می‌توان تابع همبستگی خروجی را IRF سیستم تلقی نمود و از تمام روش‌های پارامتریک دومرحله‌ای چون PRCE ، EITD ، ERA و غیره در تعیین پارامترهای مودال بهره جست.

  اندرسن ] 2 [ در تز دکتری خود امر شناسایی را با مدل ARMAV و به روش [14] PEM انجام داده است. اسمسن ] 3 [ در تز دکتری خویش به کمک روش [15] RD پاسخ ارتعاش آزاد سیستم را محاسبه می‌کند و به کمک آن پارامترهای مودال را مورد شناسایی قرار می‌دهد. وی آموزه‌هایی جهت انتخاب شرط انتخاب ابتدای سیگنال، سطح آن و طول آن در روش RD ‌ ارائه می‌کند.

  پیترز ] 4 [ در تز دکتری خود روش SSI را برای شناسایی از روی خروجی پیشتهاد می‌کند. در این روش، رفتار دینامیکی سازه‌ی مرتعش شده با نوفه‌ی سفید به کمک مدل فضای حالت تصادفی تبیین می‌شود. ماتریس فضای حالت به کمک تکنیک‌های عددی قدرتمندی چون فاکتوریزاسیون QR ، SVD و روش حداقل مربعات تعیین می‌شود.

  هانگ و کو ] 5 [ روش VBAR را جهت شناسایی پارامترهای مودی سیستم از روی خروجی ارائه می‌دهند. با این روش به راحتی می‌توان بین مودهای سیستم و مودهای اضافی تمایز قایل شد.

  ونگ و زونگ ] 6 [ در تحقیق خود شاخص ETR [16] را به عنوان شاخصی برای وضعیت‌سنجی سلامت سازه‌ای ارائه کرده‌اند. این شاخص معیاری از انرژی جابجا شونده بین نیروهای اینرسی، سختی و میرایی می‌باشد.

  2- روش­های شناسایی مودال از روی خروجی

  2-1-مقدمه

  تعریف شناسایی مودال [17] ، تخمین پارامترهای مودی سیستم سازه­ای از اطلاعات ورودی و خروجی اندازه­گیری شده می­باشد. پارامترهای مودی شامل فرکانس مودی مختلط [18] ( )، بردارهای مودی [19] ، مقیاس مودال [20] (جرم مودال )، بردار مشارکت مودی [21] و بردارهای باقیمانده [22] می­باشد. متناظر میرایی و متناظر فرکانس طبیعی میرا [23] می­باشد. بردار مشارکت مودی بیان می­کند که هر بردار مودی چگونه توسط نقاط مرجع اطلاعات اندازه­گیری شده، تحریک شده است. ترکیب بردار مشارکت مودی و بردار شکل مودی برای هر مود، ماتریس باقیمانده­ی آن مود را می­دهد. در تحلیل مودال از روی خروجی، از آنجاییکه ورودی به سیستم اندازه­گیری نمی­شود، شکل­های مودی بدست آمده مقیاس نشده می­باشد به این معنا که جرم مودی متناظر هر مود قابل تحصیل نیست.

  بطور کلاسیک، آزمایش مودال با اندازه­گیری همزمان ورودی و خروجی انجام می­شود. لکن وجود محدودیت­های فنی و اقتصادی مخصوصا در سازه­های عمرانی، آزمایش مودال با اندازه­گیری خروجی را مورد توجه محققین قرار داده است ] 7 [ . جهت تحلیل اطلاعات این نوع از آزمایش­ها، فرضیاتی روی بارگذاری ورودی انجام می­شود. به عنوان مثال در تکنیک ارتعاش طبیعی [24] ، ورودی، نوفه­ی سفید فرض می­شود ] 8 [ . این فرض در ارتعاشات سازه­های عمرانی ناشی از ارتعاشات محیطی [25] مانند باد، موج و عبور وسایل نقلیه از مجاورت سازه صائب می­نماید. بنابراین فرض، تابع خود و دیگر همبستگی سیگنال­های خروجی، تابع ضربه­ی سیستم تلقی می­شوند. به عنوان مثال، تابع همبستگی بین سیگنال پاسخ i ام و j ام، پاسخ در موقعیت i ام بازای ضربه در موقعیت j ام تلقی می­شود .

  زمانی که فرض نوفه­ی سفید بودن ورودی بطور کامل برقرار نباشد، استفاده از شاخص کاهش تصادفی [26] مفید می­باشد ] 9 [ . این شاخص در پردازش اطلاعات ارتعاشی ناشی از عبور وسایل نقلیه در پل­های راه مورد توجه قرار گرفته است. این شاخص مانند تابع همبستگی می­باشد لکن یک شرط آغازین دارد. رابطه (2-1) تعریف شاخص کاهش تصادفی را نشان می­دهد. C_j شرط آغازین است و t_k نقطه­ی آغازین می­باشد که شرط آغازین در آن صادق می­باشد. اگر بارگذاری نوفه­ی سفید نباشد، اثبات می­شود که تابع همبستگی سیستم از روی نشان کاهش تصادفی قابل تخمین می­باشد.

  الگوریتم­های متنوعی جهت تخمین پارامترهای مودی ارائه شده است. الگوریتم نمایی مختلط [27] ، حداقل مربعات نمایی مختلط [28] ، بسیار مرجعی حوزه­ی زمان [29] ، حوزه­ی زمان ابراهیم [30] ، حوزه زمان ابراهیم چندین مرجعی [31] ، الگوریتم تحقق سیستم وی‍‍ژه [32] ، چندین مرجعی حوزه­ی فرکانس [33] ، حوزه­ی فرکانس همزمان [34] ، چند مرجعی حوزه­ی فرکانس [35] ، چند جمله­ای کسر متعارفی [36] ، چند جمله­ای متعامد [37] ، تابع بیانگر مود مختلط [38] از آن جمله می­باشد. تمام این روش­ها که برخی در حوزه­ی زمان و برخی در حوزه­ی فرکانس می­باشند، در قالب مفهوم یکی شده­ی الگوریتم ماتریس چند جمله­ای [39] قابل بازنمایی می­باشد ] 10 [ .

  الگوریتم­های مختلف، نقطه­ی آغازین مشترکی دارند. تمام الگوریتم­ها، از یک معادله­ی سیستم درجه­ی دو خطی با ضرایب ثابت ریشه می­گیرد. این معادله­ی اساسی بر فرضیات متعددی استوار است که خطی بودن، تغییر ناپذیری با زمان، مشاهده­پذیری [40] و تقابل [41] از آن جمله است ] 10 [ . رویکرد کنونی در شناسایی مودال، استفاده از تکنیک­های عددی در جداسازی سهم مودهای مختلف ارتعاشی در اطلاعات اندازه­گیری شده می­باشد. در رابطه (2-2)، 2N تعداد مودها، N_o تعداد درجات آزادی خروجی و N_i تعداد درجات آزادی ورودی می­باشد.

  معادله (2-2)، نسبت به فرکانس­های مودی غیرخطی است. وقتی فرکانس­های مودی معین شود، مساله نسبت به پارامترهای مودال باقیمانده ([A_r]) ، خطی می­شود. از این­رو در غالب الگوریتم­های شناسایی پارامترهای مودال، ابتدا فرکانس­های مودی و سپس شکل­های مودی، بردارهای مقیاس مودی و باقیمانده­ها محاسبه می­شوند.

  2-2- الگوریتم ماتریس چند جمله­ای

  مفهوم یکی شده­ی الگوریتم ماتریس چند جمله­ای [42] ، متاالگوریتمی برای محاسبه پارامترهای مودال سیستم می­باشد که روش­های مختلف در حوزه­ی زمان و فرکانس در قالب آن قابل بیان است ] 10 [ .

  معمولا بجای استفاده از مدل ریاضی مبتنی بر فیزیک مساله، استفاده از مدل چند جمله­ای ماتریسی معمول می­باشد (رابطه 2-3) ] 11 [ . مجهول در این رابطه، ضرایب ثابت α و β می­باشد. در حالت N_i ورودی و N_o خروجی، ماتریس ضرایب مجهول آلفا و ماتریس ضرایب مجهول بتا خواهد بود.

  بطور مشابه در حوزه­ی زمان رابطه­­ی (2-4) برقرار می­باشد.

  در صورتیکه بخش ارتعاش آزاد سیستم یا همان تابع پاسخ ضربه [43] را درنظر بگیریم، ضرایب β قابل حذف خواهد بود (رابطه 2-5).

  رابطه­ی (2-5) بصورت رابطه­ی ماتریسی (2-6) قابل نمایش است. با قرار دادن تابع پاسخ ضربه­ی اندازه­گیری شده در معادله­ی (2-6) و حل معادله­ بیش معلوم [44] به روش حداقل مربعات، ضرایب ماتریس قابل محاسبه است.

  پس از تعیین ضرایب ماتریس ، معادله­ی مشخصه­ی سیستم تشکیل می­شود و ریشه­های این معادله­ی چند جمله­ای ماتریسی که متناسب با فرکانس­های مودی سیستم می­باشد، محاسبه می­شود (رابطه 2-7).

  با دانستن فرکانس­های مودی و با قراردادن اطلاعات اندازه­گیری­ شده در مجموعه معادلات بیش معلوم رابطه­ی (2-8) برای اندازه­گیری تک مرجعی [45] ، بردارهای باقیمانده با روش حداقل مربعات محاسبه می­شود. در حالت چند مرجعی [46] برای محاسبه­ی ماتریس باقیمانده از رابطه­ی (2-2) استفاده می­شود.

  با تعیین ضرایب مجهول، شکل­های مودی و بردارهای مشارکت مودی محاسبه می­شود (رابطه 2-9).

  2-3-تخمین پارامترهای مودال با روش FDD

  سنتی­ و ساده­ترین روش تحلیل مودال، تعیین فرکانس مودی با عنایت به پیک در دیاگرام چگالی طیفی می­باشد و روش PP [47] خوانده می­شود ] 12 [ . این روش تنها وقتی که مودهای سیستم بخوبی از یکدیگر جدا باشند و میرایی مودها کم باشد، قابل اطمینان است. در این حالت اثر هر مود روی رفتار دینامیکی سازه را می­توان بصورت مستقل مورد توجه قرار داد.

  یک روش دقیقتر برای تعیین مقادیر ویژه از ماتریس چگالی طیفی، استفاده از تکنیک تجزیه مقادیر تکین [48] می­باشد ] 13 [ . این روش تجزیه­ی حوزه­ی فرکانس [49] یا FDD خوانده می­شود. در این روش ماتریس چگالی طیفی به کمک تکنیک تجزیه­ی مقادیر تکین به مجموعه­ای از سیستم­های با یک درجه­ی آزادی تجزیه می­شود. قدم اول در این روش، تخمین ماتریس چگالی طیفی می­باشد. سپس ماتریس چگالی طیفی خروجی در هر فرکانس، با تکنیک تجزیه­ی مقادیر تکین تجزیه می­شود (رابطه 2-10). ماتریس U_i و V_i ماتریس­های واحد شامل بردارهای تکین و S_i ماتریس قطری شامل مقادیر تکین می­باشد.

  پیک نمودار مقادیر تکین در فرکانس­های مختلف، فرکانس ارتعاشی سازه می­باشد. میرایی با تبدیل معکوس فوریه در فرکانس ارتعاشی و از بخش ارتعاش آزاد کاهشی تابع در حوزه­ زمان که تابع خودهمبستگی سیستم یک درجه­ی آزادی معادل است، بدست می­آید.

  2-4-تخمین پارامترهای مودال با روش LSCE

  روش حداقل مربعات نمایی مختلط [50] یا LSCE یک روش حوزه­ی زمانی می­باشد که با استفاده از تابع پاسخ ضربه­ی سیستم، پارامترهای مودال را مورد محاسبه قرار می­دهد ] 13 [ . در شناسایی مودال از روی خروجی، با استفاده از روش NexT ، تابع همبستگی بین سیگنال­های پاسخ، تابع ضربه­ انگاشته می­شود. از اینرو، تابع همبستگی بین سیگنال­ها، جمع آثار قوای ارتعاشات کاهشی با فرکانس و میرایی متناظر با فرکانس و میرایی سازه تلقی می­شود (رابطه 2-11).

  از آنجاییکه s_r به شکل مختلط مزدوج ظاهر می­شود، یک معادله­ی چند جمله­ای مرتبه­ی 2N وجود دارد [51] که ریشه­های آن می­باشد(رابطه 2-12).

  با ضرب پاسخ ضربه در زمان k ام در و جمع آن بازای خواهیم داشت (رابطه 2-13)

  همانطور که ملاحظه می­شود، ضرایب مجهول در معادله­ی خطی که ضرایب آن 2N+1 پاسخ ضربه می­باشد، صدق می­کند. لذا ضرایب مجهول ، با تشکیل N معادله­ی خطی با استفاده از پاسخ ضربه محاسبه­ می­شود(رابطه 2-14). این رابطه بازای n=1…L تشکیل می­شود و ضرایب مجهول به روش حداقل مربعات مورد محاسبه قرار می­گیرد. ماتریس ضرایب این معادلات خطی همان ماتریس هنکل سیگنال پاسخ ضربه می­باشد(رابطه 2-15).

  در روش شرح داده شده­ی فوق، تنها از یک تابع پاسخ ضربه استفاده شد. از آنجاییکه ضرایب کمیت­هایی کلی مربوط به پارامترهای مودال کل سازه می­باشند، از پاسخ­های ضربه­ی نقاط دیگر سازه نیز به ضرایب مشابه دست پیدا می­شود. بنابراین می­توان بطور همزمان p تابع پاسخ ضربه را برای محاسبه­ی ضرایب مجهول بکار برد (رابطه 2-16).

  پس از محاسبه­ی ضرایب ، ریشه­های معادله­ی مرتبه­ی 2N محاسبه می­شود و از روی آن­ها پارامترهای مودال تعیین می­گردد.

  با شناسایی 2M قطب ، مقدار مشخص می­شود. با جایگذاری آن در معادله­ی (2-17)، ضرایب ، که اندازه­ی شکل مودی می­باشد، برای هر پاسخ ضربه از روش حداقل مربعات قابل محاسبه می­باشد.

  2-5-تخمین پارامترهای مودال با روش ITD

  روش حوزه­ی زمان ابراهیم مانند روش LSCE می­باشد که پارامترهای مودال را شناسایی می­کند ] 13 [ . در این روش رابطه (2-17-الف) به شکل رابطه (2-18) نوشته می­شود. که L تعداد مقادیر تابع پاسخ ضربه در ردیف و N تعداد مودهایی است که باید مورد شناسایی قرار گیرد.

  رابطه (2-18) به شکل ماتریسی (2-19) قابل بازنویسی می­باشد. که ماتریس X ، اصطلاحا ماتریس هنکل H(1) سیگنال پاسخ ضربه با L ردیف و 2N سطر خوانده می­شود.

  با جابجایی تمام مقادیر به اندازه­ی ، رابطه­ی (2-20) قابل بازنویسی می­باشد.

  که بصورت (2-21) قابل نمایش است. که ماتریس ، اصطلاحا ماتریس هنکل H(2) سیگنال پاسخ ضربه با L ردیف و 2N سطر خوانده می­شود.

  با تعریف ماتریس سیستم S ، بصورت رابطه­ی (2-22) و با پیش ضرب آن در رابطه (2-19) و استفاده از رابطه (2-21) رابطه­ی ماتریس سیستم با ماتریس هنکل سیگنال پاسخ ضربه بدست می­آید (رابطه 2-23). به کمک این رابطه ماتریس سیستم از روی ماتریس هنکل سیگنال پاسخ ضربه، از روش حداقل مربعات، قابل شناسایی می­باشد.

  با عنایت به اینکه، ماتریس سیستم برای تمام سیگنال­های پاسخ ضربه یکسان است و رابطه­ی (2-23) برای تمام نقاط سازه قابل بازنویسی است، می­توان از سیگنال پاسخ ضربه در چند نقطه برای شناسایی ماتریس سیستم S و به روش حداقل مربعات بهره جست. مقادیر ویژه­ی ماتریس سیستم، خواهد بود که با محاسبه­ی آن، فرکانس­های ارتعاشی مختلط سازه (s_r) قابل محاسبه خواهد بود. شکل­های مودی نیز مشابه روش LSCE محاسبه می­گردد.

  2-6-تخمین پارامترهای مودال با روش ERA

  الگوریتم تحقق سیستم ویژه [52] بطور مشابه با دو روش فوق­الذکر، از ایده­ی مدلسازی نمایی مختلط میرای [53] پاسخ سازه­ای بهره می­گیرد(رابطه 2-17-الف). روش ERA از تئوری تحقق [54] و با استفاده از مفهوم مشاهده­پذیری [55] و کنترل­پذیری [56] مدل فضای حالت، شکل می­گیرد ] 14 [ .

  در این روش، سازه با مدل فضای حالت گسسته خطی تبیین می­گردد (رابطه 2-24). در این رابطه بردار حالت سیستم در زمان k ام، بردار ورودی در زمان k ام، بردار خروجی اندازه­گیری شده در زمان k ام می­باشد. همچنین ماتریس ، ماتریس سیستم است که مقادیر فضای حالت پیشین و پسین را بهم ارتباط می­دهد، که مقادیر وی‍‍ژه­ی آن متناظر می­باشد. بعد ماتریس سیستم، دو برابر درجه­ی آزادی فیزیکی سیستم می­باشد ( ). تعداد خروجی­های اندازه­گیری شده، می­باشد.

  در الگوریتم ERA سعی می­شود از روی مشاهدات y_k تخمینی از ماتریس سیستم A بدست آید. از آنجاییکه خروجی در دو زمان متوالی بطور ضمنی [57] توسط ماتریس سیستم با یکدیگر ارتباط پیدا می­کنند، با فرض اینکه پاسخ ضربه­ی سیستم موجود است و ضربه قبل از زمان صفر به سیستم وارد شده است و سیستم بطور آزاد ارتعاش می­کند، ماتریس سیستم از روی ماتریس هنکل پاسخ ضربه H(0) (ماتریس هنکل پاسخ ضربه در زمان صفر) و H(1) (ماتریس هنکل پاسخ ضربه در زمان یک) بدست می­آید. پارامترهای مودال از روی مقادیر ویژه­ی ماتریس A ، قابل تعیین است.

  مطابق رابطه (2-24) ماتریس هنکل پاسخ ضربه H(0) و H(1) بصورت رابطه (2-25) قابل محاسبه است.

  ماتریس هنکل H(0) با تکنیک تجزیه مقادیر تکین مطابق رابطه (2-26) قابل تجزیه می­باشد.

  لذا با تعریف ماتریس O و ماتریس W مطابق رابطه (2-27)، شبه معکوس آن­ها قابل محاسبه می­باشد. با دانستن شبه معکوس این دو ماتریس، ماتریس سیستم قابل محاسبه خواهد بود. ازآنجاییکه بعد ماتریس سیستم 2N می­باشد ، ماتریس S تنها 2N مقدار تکین غیر صفر خواهد داشت. لذا در رابطه (2-27)، تنها 2N مقدار تکین غیر صفر و بردار تکین متناظر آن منظور می­شود.

  ماتریس سیستم A با پیش ضرب رابطه (2-25-د) در شبه معکوس ماتریس O و پس ضرب در شبه معکوس ماتریس W محاسبه می­شود (رابطه 2-28)

  همانند روش­های پیشین، با محاسبه مقادیر ویژه­ی ماتریس A ، پارامترهای مودی سیستم قابل محاسبه خواهد بود.

  2-7-تخمین پارامترهای مودال با روش SSI

  روش شناسایی تصادفی زیرفضا [58] توسط ون اورشی [59] و دی مور [60] ] 15 [ پیشنهاد شده و توسط پیترز در شناسایی مودال از روی خروجی در سازه­های عمرانی بکار گرفته شده است ] 4 [ . در این روش با فرض نوفه­ی سفید بودن ورودی، مدل تصادفی فضای حالت از اندازه ­ گیری ­ های خروجی سیستم محاسبه می ­ شود. گام کلیدی در روش شناسایی تصادفی زیرفضا محاسبه‌ تصویر خروجی ­ های آینده سیستم بر روی خروجی ­ های گذشته می ­ باشد. مبنای این روش بر اساس تعریف مفاهیم هندسی­ای چون تصویر عمود [61] ، تصویر مایل [62] و زاویه و جهت اصلی بین دو ماتریس [63] شکل می­گیرد. چگونگی تعریف این مفاهیم هندسی در حالت خاص برداری مشخص است. در قالب تئوری زیرفضا، این مفاهیم در حالت کلیتر ماتریسی مطرح می­شود. در صورتیکه ماتریس­های ، و در نظر گرفته شود، عناصر سطری ماتریس­ها، مولفه­های برداری با بعد j منظور می­شود. تعریف تصویر عمود فضای سطر ماتریس A بر فضای سطر ماتریس B بصورت رابطه (2-29-الف) تعریف می­گردد. مطابق این تعریف، تصویر عمود متمم مطابق رابطه (2-29-ب) تعریف می­شود. که منظور از شبه معکوس ماتریس [64] می ­ باشد.

  همچنین تصویر مایل فضای سطرهای A در امتداد فضای سطرهای B بر فضای سطور C مطابق رابطه (2-30) تعریف می­شود .

  زوایا و جهات اصلی بین دو زیرفضا نیز، با تعمیم مفهوم زاویه بین دو بردار، بدست می­آید. زوایا و جهات اصلی بین سطور دو ماتریس A و B با تجزیه مقادیر تکین رابطه (2-31) تعریف می­شود. جهات اصلی بین فضای سطور A و B به ترتیب برابر سطور ماتریس­های U^T و V^T و کسینوس زوایای اصلی بین ایندو برابر مقادیر تکین (عناصر قطری ماتریس S ) خواهد بود.

  در روش شناسایی تصادفی زیرفضا، ارتعاش یک سازه که با نویز همراه است ، با مدل تصادفی فضای حالت مدلسازی می­شود . اندازه ­ گی ری m خروجی در زمان k ام می ­ باشد و بردار حالت است. اگر مدل فضای حالت مبین سازه ­ ای با N درجه آزادی باشد، خواهد بود و مبین متغیرهای مستقل مورد نیاز برای مدلسازی سیستم می ­ باشد. ماتریس حالت می ­ باشد که دینامیک سیستم را تبیین می ­ کند و متغیر حالت پیشین را به پسین مربوط می­نماید (رابطه 2-32-الف) ، ماتریس خروجی است که مبین چگونگی تبدیل حالت داخلی به مشاهده­ی خارجی می ­ باشد (رابطه 2-32-ب). بردار نویز فرایند بدلیل عدم ­ قطعیت در مدلسازی می ­ باشد که بیانگر نویز ورودی هم می­تواند باشد و بردار نویز اندازه ­ گیری بدلیل عدم قطعیت سنسورها می ­ باشد.

  فرض می ­ شود فرایند تصادفی مانا [65] ، با میانگین صفر است که کواریانس حالت مستقل از زمان است. همچنین مستقل از حالت هستند و کواریانس خروجی با تاخیر i ام و کواریانس خروجی با حالت بعدی با ماتریس G تعریف می ­ شوند (رابطه 2-33) . دو بردار غیرقابل اندازه ­ گیری هستند و در اینجا فرض می ­ شود نویز سفید [66] می­باشند که میانگین آن ­ ها صفر است و کواریانس آنها مطابق رابطه ( 2-33-و ) می ­ باشد.

  با توجه به فرضیات مذکور، خواص مذکور در رابطه (2-34و35) اثبات می ­ گردد ] 15 [ . رابطه‌ (2-35) ویژگی مهمی است و نشان می‌دهد که کواریانس خروجی را می ­ توان پاسخ ضربه‌ یک سیستم خطی غیر تصادفی تغییر ناپذیر با زمان تلقی نمود.

  در روش شناسایی تصادفی زیرفضا، اندازه ­ گیری ­ های خروجی در ماتریس هنکل جمع می ­ شود ک ه 2i بلاک m تایی در هر ردیف و j ستون دارد و فرض می ­ شود که تعداد ستونها بی ­ نهایت است . ماتریس هنکل را می توان به دو قسمت گذشته و آینده تقسیم بندی کرد (رابطه 2-36) .

  باید توجه داشت که دلیل مقیاس کردن اطلاعات خروجی با ضریب اینست که با تعریف کواریانس در رابطه‌ ( 2-35 ) سازگار باشد. بنابر این برای مقیاس کردن می ­ توان m ردیف و m ستون نخست حاصلضرب را ماتریس کواریانس انگاشت (رابطه 2-37) .

  صحت رابطه‌ ( 2-37 ) وقتی تضمین می ­ شود که اطلاعات ارگودیک بوده و شامل بینهایت اطلاعات باشد . اگر هر یک از این شرایط ارضا نگردد، رابطه‌ ( 2-37 ) برابر کواریانس خروجی نخواهد بود بلکه تنها تخمینی از آن می ­ باشد. الگوریتم با تصویر کردن خروجی ­ های آینده بر خروجی ­ های گذشته ادامه پیدا می ­ کند. این تصویر کردن مطابق تعریف (2-29-الف) بصورت رابطه ( 2-38 )‌‌ تعریف می ­ گردد و از نظر عملی از روش تجزیه RQ محاسبه می ­ شود.

  ایده تصویر کردن بخاطر اینست که باقیمانده آن برابر اطلاعاتی است که با داشتن آنها در گذشته می توان آینده را پیش ­ بینی نمود. تئوری اصلی روش شناسایی تصادفی زیرفضا بیان می ­ دارد که تصویر را می ­ توان به حاصلضرب ماتریس مشاهده پذیری و دنباله حالت فیلتر کالمن تبدیل کرد (رابطه 2-39 ).

  بطور کلاسیک، هدف از فیلتر کالمن، پیش بینی بهینه‌ بردار حالت به کمک مشاهده‌ خروجی تا زمان k و دانستن ماتریسهای سیستم و کواریانس نویز می ­ باشد. این پیش ­ بینی بهینه بصورت نمایش داده می ­ شود. هر دو ماتریس رابطه‌ ( 2-39 ) یعنی ماتریس مشاهده پذیری و دنباله حالت بوسیله‌ تجزیه‌ مقادیر تکین ماتریس تصویر به دست می ­ آید (رابطه 2-40) .

  که در آن و ماتریسهای متعامد یکه می باشند و و ماتریس قطری است که مقادیر تکین به ترتیب نزولی روی قطر آن قرار دارد. با توجه به این که بعد داخلی حاصلضرب برابر n می ­ باشد و فرض می ­ شود که باشد، مرتبه ‌این حاصلضرب بیشتر از n نخواهد بود. مرتبه‌ ماتریس بصورت تعداد مقادیر تکین غیر صفر بدست می ­ آید. مقادیر تکین رابطه‌ ( 2-40 ) و بردارهای تکین متناظر آنها حذف می ­ شود و با ترکیب رابطه‌ ( 2-39 ) و ( 2-40 ) رابطه ( 2-41 )‌ حاصل خواهد شد.

  تا این مرحله درجه سیستم n را که مقادیر تکین غیر صفر رابطه ( 2-40 ) می ­ باشد، ماتریس مشاهده پذیری و دنباله حالت محاسبه شده است. اما هدف اصلی تعیین ماتریسهای سیستم یعنی می ­ باشد. اگر تقسیم بندی ماتریس هنکل بین خروجی ­ های آینده و گذشته در رابطه ( 2-36 ) ، یک ردیف به طرف پایین جابجا شود می ­ توان ماتریس تصویر دیگری بصورت رابطه‌ ( 2-42 ) تعریف نمود.

  که ماتریس O_i-1 با حذف m ردیف آخر ماتریس O_i بدست می ­ آید و دنباله حالت جابجا شده مطابق رابطه ( 2-43 ) محاسبه می ­ گردد.

  بنابراین دنباله حالت کالمن و تنها بکمک اطلاعات خروجی مورد محاسبه قرار می ­ گیرد. ماتریسهای سیستم را می ­ توان با حل معادلات خطی ( 2-44 ) به روش حداقل مربعات تعیین نمود.

  که ماتریس هنکل با یک ردیف است و باقیمانده ­ های حداقل مربعات می ­ باشد. از آنجائیکه دنباله حالت و خروجی معلوم است و باقیمانده ­ های با ناهمبسته می ­ باشد مجموعه‌ معادلات برای ماتریسها ی A C, به روش حداقل مربعات بصورت رابطه (2-45) قابل حل می ­ باشد.

  کواریانس نویز S, R, Q با محاسبه کواریانس باقیمانده ­ ها قابل محاسبه است . ماتریسهای سیستم S , R ,Q ,C , A را می ­ توان به ماتریسهای تبدیل کرد. این تبدیل با حل معادله لیاپانوف قابل انجام است (رابطه 2-46) .

  و ماتریسهای G و بصورت رابطه (2-47) ‌ تعیین می ­ گردد.

  بنابراین مساله شناسایی حل شده و ماتریسهای سیستم و مرتبه سیستم n از روی خروجی تعیین می ­ گردد. تخمین پارامترهای مودال با یافتن مقادیر ویژه­ی ماتریس حالت A آغاز می ­ شود (رابطه 2-48) .

  ماتریس قطری می ­ باشد که مقادیر ویژه مختلط منفصل روی قطر آن قرار دارد و شامل بردارهای ویژه می ­ باشد. مقادیر ویژه پیوسته مطابق رابطه (2-49) از روی مقادیر ویژه گسسته قابل محاسبه می ­ باشد. که بصورت جفتهای مزدوج مختلط مطابق رابطه (2-50) می ­ باشد.

  که نسبت میرایی مود ام و فرکانس طبیعی سیستم می ­ باشد. شکلهای مودی در موقعیت سنسورها ( )، قسمت مشاهده شده از بردارهای ویژه سیستم می ­ باشد که مطابق رابطه (2-51) تعیین می­گردد.

  مرجع­ها

  [1] J. S. Bendat, A. G. Piersol, Engineering Applications of Corrolation and Spectral Analysis, John Wiley & Sons, second edition, 1993.

  [2] Andersen, Palle, (1997), ‘Identification of civil engineering structures using vector ARMA models’, Ph.D. thesis, Aalborg University, Denmark.

  [3] Asmussen, John Christian, (1997), ‘Modal Analysis based on the random decrement thechniques’, Ph.D. thesis, Aalborg University, Denmark.

  [4] Peeters, B. (2000), ‘System identification and damage detection in civil engineering’, Ph.D. thesis, Katholieke University of Leuven, Belgium.

  [5] Hung, C.F., and Ko, W.J.,(2002),’Identification of modal parameters from measured output datausing vector backward autoregressive model’, Journal of sound and vibration, Vol. 256, No. 2, pp. 249-270.

  [6] Wang, Ton-Lo and Zong, Zhouhong,(2002), ‘Improvement of evaluation method for existing highway bridges’, Department of civil and environmental engineering, Florida International University, Research report No. FL/DOT/RMC/6672-818.

  [7] Peeters B. and Ventura C. E. (2003) ‘comparative study of modal analysis techniques for bridge dynamic characteristics’, mechanical systems and signal processing, volume 17, issue 5, pages 965-988.

  [8] JAMES G. H., CARNE G. and LAUFFER J. P. (1995), ‘The natural excitation technique (NExT) for modal parameter extraction from operating structures’, Modal Analysis 10, pp. 260–277.

  [9] ASMUSSEN, J. C., BRINCKER R. and IBRAHIM S. R.(1999) ‘STATISTICAL THEORY OF THE VECTOR RANDOM DECREMENT TECHNIQUE’, Journal of Sound and Vibration, Volume 226, Issue 2, 16, Pages 329-344.

  [10] Allemang, R. J., Brown, D. L.,(1998), ‘A unified matrix polynomial approach to modal identification’, Journal of sound and vibration, 211(3), 301-322.

  [11] Allemang, R. J., (2002), ‘Modal parameter estimation overview/review’, Structural Dynamics Research Laboratory, University of Cincinnati, www.sdrl.cu.edu

  [12] J. S. Bendat, A. G. Piersol, Random Data: Analysis and Measurmentes, John Wiley & Sons, first edition, 1971.

  [13] Mohanty, P,,(2005),’Operational Modal Analysis in the Presence of Harmonic Excitations’, Delft University of Technology.

  [14] Jer-Nan Jaung, ‘Applied System Identification’, PTR Prentice-Hall, 1994.

  [15] P. V. Overschee, B.D. Moor, ‘Subspace identification for linear systems, theory-implementation-application’, Kluwer Academic Publishers, 1996.